最古老的数学问题有了新的解

我们从一个没那么复杂的问题开始。如果有一组正整数,你能从中挑出几个数字,使它们的倒数之和恰好等于1吗?

比如,这里有 {2,3,7,12,15,18,21,29,32,36} 10个数字组成的一个数集,我们可以选择其中的2、3、12、18、36,就能得到

事实上,这类问题很有可能正是最古老的数学问题之一,它们可以追溯到公元前1650年左右的古埃及数学典籍《莱因德数学纸草书》,其中记录了古埃及人如何将有理数表示为单位分数之和。

单位分数就是分子是1的分数,或者也可以说是正整数的倒数,它们是当时古埃及数字系统中唯一一类分数,他们需要用单位分数来表示其他更复杂的分数,比如将3/4写作1/2和1/4的和。

有趣的是,到了20世纪70年代,有关这类分数的问题再次引起了一些数学家的兴趣。当时,数学家埃尔德什(Paul Erds)和格雷厄姆(Ronald Graham)在探索想要设计出不满足条件的整数集有多难,也就是说,一个整数集中不能有任何子集,其倒数之和等于1。

我们稍后可以更详细地来看看这个埃尔德什-格雷厄姆问题中的各种数学细节。但先说一则好消息,在这个猜想提出约半个世纪后,牛津大学数学家Thomas Bloom证明了它。

埃尔德什和格雷厄姆提出的猜想中有一些基本的条件。首先,数集A是自然数集的子集,同时,它还涉及一个相对复杂的数学概念,也就是正密度。可以这样简单理解,无论你怎么数下去,都存在一种非零的概率,会遇到集合A中的一个数字,那么A就具有正密度。

在满足条件的这样一个数集A中,一定存在子集S,其中所有数的倒数之和等于1。

举个简单的例子,A是一个包含所有大于1的奇数的集合,它属于自然数集的子集,并满足正密度的条件,因为无论你数到10亿还是100亿,也一定会遇到奇数。然后,我们可以在A中找到有限子集S = {3,5,7,9,11,33,35,45,55,77,105} ,而所有这些数的倒数相加恰好等于1。

这理解起来并没有那么困难,但证明它显然就变成另一回事了。那就变成了一个大得多、复杂得多的问题。对不少数学家来说,似乎找不到什么显而易见的数学工具来解决它。

尽管这个问题已经提出了很久,但Bloom是在一个偶然的机会才知道它。去年9月,在一次作业中,Bloom被要求在牛津的一个读书会中介绍讨论一篇20年前的论文。这篇研究来自数学家Ernie Croot,他解决了所谓的埃尔德什-格雷厄姆问题的着色版本。

这是一种更弱的证明。可以这么理解,在着色版本中,整数被随机地分类,指定放到不同颜色的桶中。猜想预测,无论这种分类中用到了多少个桶,至少会有一个桶包含一个倒数之和等于1的整数子集。

Croot这篇发表于2003年的论文引入了来自调和分析的强大的新方法,那是一个与微积分密切相关的数学分支。他的论文也受到了广泛赞誉。

着色版本和密度版本非常相似,但它们在一个非常重要的方面却有所不同。在着色问题中,整个数集A被分成了不同的“桶”,具体的分割方法并不重要。数学家要证明的是,有一个“桶”里的数字满足条件。这正是Croot在论文里构建的证明,表明了至少会有一个“桶”里包含足够多具有低素因子的数字,用数学术语来说就是光滑数(smooth number),从而满足定理。

这可以看作证明的一条捷径,但在密度版本中,这样的捷径并不存在。当Bloom看到这篇证明后,却认为这种方法要比人们普遍认为的更强,那实际上证明了密度问题的一个特例。Bloom谦虚地表示,他所做的“只是又推了一下那扇已经打开的门”。

粗略来说,先前的证明依赖于一类被称为指数和的整数。指数和可以分成两个部分,分别是优弧贡献,也就是我们可以明确计算并且很大的部分,以及劣弧贡献,也就是我们不知道如何计算,但能证明很小的部分。

先前证明的巧妙之处在于,Croot想到了一种思考劣弧贡献的新方法,把它变成了一类不同的问题。他没有试图计算数值,而是研究了这个集合中倍数是如何沿着数轴分布的。

在此基础上,Bloom将它进一步改进成适用于密度版本,进行了更多“局部”处理。在Bloom的新论文中,他将自己的方法解释为“Croot引入的方法的一种更强形式”。

同时,Bloom没有直接寻找倒数之和为1的答案,而是先找到了倒数相加更小的数集,然后再把它们当作“零件”,最终构建出想要的答案。这进一步帮助简化了过程。

Bloom的新证明受到了许多数学家的赞赏,但这显然不是数集与和的问题探索的终点。

数论一直在寻找数字中的隐藏结构。当数论学家遇到一种似乎无可避免的数字模式时,他们会不断测试这种模式的稳定程度,探索它的边界和极限,从而挖掘出埋藏在数字中的新信息。

在过去20年间,组合与分析数论都有了很大发展,让数学家能够以全新的视角看待许多古老的问题。同时,在计算机的帮助下,以更严格的方式检验证明也成为可能。

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